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二维拓扑流形可以分为可定向曲面和非定向曲面两种。可定向曲面包括球面和圆环面等，它们都有两个面，有内外之分；而非定向曲面，如莫比乌斯带、克莱因瓶和罗马面等，只有一个面，没有内外之分。一个常见且有趣的例子是克莱因瓶永远装不满水。因此，对于球面或圆环面，可以利用通过它们的贝里曲率通量的量子化值来定义拓扑不变量，这对非定向曲面是不适用的。譬如，陈绝缘体的底流形是圆环面，描述它们的拓扑不变量陈数就是该量子化...

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